特征方程通常與矩陣的特征值相關(guān)。對(duì)于一個(gè) ( n \times n ) 的方陣 ( A )，其特征方程可以通過(guò)以下步驟求得：

步驟 1：計(jì)算特征多項(xiàng)式

特征方程是通過(guò)矩陣 ( A ) 的特征多項(xiàng)式得到的。特征多項(xiàng)式定義為：

[P(\lambda) = \det(A - \lambda I)]

其中：- ( \lambda ) 是特征值。- ( I ) 是 ( n \times n ) 的單位矩陣。- ( \det ) 表示行列式。

步驟 2：展開(kāi)行列式

計(jì)算行列式 ( \det(A - \lambda I) )，這會(huì)得到一個(gè)關(guān)于 ( \lambda ) 的多項(xiàng)式。

步驟 3：特征方程

將特征多項(xiàng)式等于零，即：

[P(\lambda) = 0]

這個(gè)方程就是矩陣 ( A ) 的特征方程。

例子

考慮一個(gè) ( 2 \times 2 ) 矩陣：

[A = \begin{pmatrix}a & b \c & d\end{pmatrix}]

計(jì)算 ( A - \lambda I ):

[A - \lambda I = \begin{pmatrix}a - \lambda & b \c & d - \lambda\end{pmatrix}]

計(jì)算行列式：

[\det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc]

展開(kāi)后得到特征多項(xiàng)式：

[P(\lambda) = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc)]

特征方程為：

[\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0]

解這個(gè)方程可以得到矩陣 ( A ) 的特征值。

總結(jié)

特征方程的求解步驟包括：1. 構(gòu)造矩陣 ( A - \lambda I )。2. 計(jì)算行列式 ( \det(A - \lambda I) ) 得到特征多項(xiàng)式。3. 將特征多項(xiàng)式等于零得到特征方程。

通過(guò)解特征方程，可以找到矩陣的特征值。